首先，让我们将线性模型定义为X的某个函数，该函数等于Y且存在一些误差。

Y=βX+ε

其中Y是因变量，X是自变量，ε是误差项，β是X的乘数。OLS的目标是估计β，以使ε最小。

为了使[β]成为可靠的估计，必须满足一些基本假设(称为高斯-马可夫假设[4])：

因变量和自变量之间存在线性关系

这些错误是同调的(也就是说，它们具有恒定的方差)

误差的平均分布为零

错误中没有自相关(也就是说，错误与错误的滞后无关)

线性度

我们首先看一下价格v天的非变换散点图(来自Coinmetrics的数据)。

图1-价格v天。 数据分布范围太广，无法通过视觉确定线性度。

在图1中，我们遇到一个很好的理由来获取价格的对数——跨度太宽了。 取价格的对数(而不是天)并重新绘图，使我们形成了熟悉的对数显示模式(图2)

图2-日志价格v天。 一个清晰的对数模式正在出现。

取几天的对数并再次作图，得出了由图3中[1、2和3]的作者确定的明显线性模式。

图3 —明显的线性关系出现了

这证实了对数-对数的选择——唯一真正显示出良好线性关系的转换。

图4 –平方根变换比未变换的序列好很多

因此，初步分析不能否定H0.

对数-对数拟合回归在接下来的图5中给出，其中[β]=5.8

图5 —对数-对数回归结果

使用该模型，我们现在可以估计残差[ε]和拟合值[Y]并测试其他假设。

同质性

如果误差项中恒定方差的假设(即同心平稳性)为真，则对于预测值中的每个值，误差项将在0附近随机变化。 因此，RVF图(图6)是研究此假设准确性的简单而有效的图形方法。 在图6中，我们看到有一个巨大的模式，而不是随机的散射，表明误差项的非恒定方差(即异方差)。

图6a-RVF图。 此处的模式表示存在问题。

像这样的异方差性会导致系数[β]的估计值具有较大的方差，因此精度较低，并导致p值比应有的值大得多，这是因为OLS程序无法检测到增大的方差。 因此，当我们然后计算t值和F值时，我们使用了方差的低估值，从而导致较高的显着性。 这也会对[β]的95%置信区间产生影响，该区间本身是方差的函数(通过标准误差)。

自相关的Breusch-Godfrey [6&7]统计量也很重要，进一步为该问题提供了证据。

图6b-检测到的残差中的自相关

在这个阶段，通常是我们停止并重新指定模型的时候。 但是，鉴于我们知道这些问题的影响，因此继续进行回归分析以了解存在这些问题将相对安全。 我们可以通过多种方式来处理这些问题中的(轻度形式)，例如自举或使用健壮的估计器作为方差。

图7 —不同估计显示了异方差的影响

如图7所示，尽管方差有小幅增加(请参见扩大的置信区间)，但在大多数情况下，存在的异方差实际上并没有太大的有害影响。

误差中的正常性

误差项服从零均值正态分布的假设比线性或同方差不那么重要。 非正态但不偏斜的残差将使置信区间过于乐观。 如果残差偏斜，那么您可能最终会有一点偏差。 从图8和9中可以看到，残差严重倾斜。 Shapiro-Wilk正态性检验的p值为0.它们不完全符合正态曲线，因此置信区间不受影响。

图8-误差项的直方图，正态分布(绿色)覆盖。 这个误差项应该是正常的，但事实并非如此。

图9-误差项的正常分位数图。 点越接近直线，法线拟合越好。

杠杆作用

杠杆的概念是，并非回归中的所有数据点都对系数的估计有同等的贡献。 某些具有高杠杆作用的点可能会根据是否存在来显着改变系数。 在图10中，我们可以很清楚地看到，涉及点数太多(平均剩余金额上面这些且平均杠杆上面这些)。

图10-利用v平方残差。

最小二乘(OLS)摘要

基本诊断表明除了线性以外，基本上违反了所有高斯-马尔可夫(Gauss-Markov)假设。 这是拒绝H0的相对有力的证据。

稳定状态

平稳过程被称为集成了0级(例如I(0))。 非平稳过程为I(1)或更大。 在这种情况下，集成更像是穷人的集成——它是滞后差异的总和。 I(1)表示，如果我们从序列中的每个值中减去第一个滞后，我们将有一个I(0)过程。 相对网友们都知道，对非平稳时间序列的回归可以导致虚假关系的识别。

在接下来的图12和图13中，我们可以看到我们不能拒绝增强迪基·富勒(ADF)检验的零假设。 ADF检验的零假设是数据不稳定。 这意味着我们不能说数据是固定的。

图11和12 – GLS增强了ADF测试，以记录价格和记录天数为单位根。

Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin(KPSS)测试是对ADF测试的平稳性的补充测试。 该测试具有零假设，即数据是固定的。 如图13和14所示，我们可以拒绝两个变量中大多数滞后的平稳性。

图13和图14 —针对平稳性无效的KPSS测试

这些测试证明这两个系列无疑是平稳的。 这有点问题。 如果该序列至少不是趋势平稳的，那么OLS可能会误导您识别虚假关系。 我们可以做的一件事是获取每个变量的对数日差并重建我们的OLS。 然而，由于此问题在计量经济学系列中相当普遍，因此我们可以使用更强大的框架——称为协整。

协整

协整是一种处理一对(或多个)I(1)进程并确定是否存在关系以及该关系是什么的方法。 为了理解协整，我们举了一个醉汉和她的狗的简化例子[3]。 想象一下，一个醉汉用皮带牵她的狗回家。 醉汉在各处走来走去， 这只狗也随机行走：嗅树，吠叫，追逐抓挠。 但是，狗的总体行进方向将在醉酒者的牵引带范围内。 我们可以估计，在醉汉步行回家的任何地方，狗都会在醉汉的皮带长度之内(确保它可能在一侧或另一侧，但狗一定在皮带长度之内)。 这种糟糕的简化是对协整的一个粗略比喻——狗和主人一起移动。

将其与相关性进行对比——假设流浪狗沿着醉酒走了95%的回家路程，然后跑去追着汽车驶向城镇的另一侧。 流浪者与行走行径之间将有很强的相关性(字面意思是R²：95%)，但是就像醉汉拥有许多晚上的床头柜——这种关系并不意味着任何东西——它不能用来预测醉酒的出行地点，而在旅途的某些部分中，这是事实，而在某些部分中，这是完全不正确的。

为了找到醉汉，首先，我们将看到我们的模型应使用什么滞后规范。

图15-延迟阶数说明。 最小AIC用于确定。

我们在这里确定通过选择最小AIC进行调查的最合适的滞后阶数为6.

接下来，我们需要确定是否存在协整关系。 简单的Engle-Granger框架[8.9.10]使此操作相对容易。 如果测试统计量比临界值更负，则存在协整关系。

图16 —测试统计量远没有小于任何临界值

图16中的结果没有证据表明对数价格与对数天之间存在协整方程。

局限性

在这项研究中，我们没有考虑任何混杂变量。 鉴于上面这些证据，任何混杂因素都不太可能对我们的结论产生重大影响-我们可以拒绝H0. 我们可以说“日志天数和日志比特币价格之间没有关系”。 如果真是这样，那么就会有一个共同的关系。

结论：鉴于违反了所有高斯马尔科夫(Gauss Markov)假设的有效线性回归假设，并且没有可检测到的协整性，并且两个变量都是非平稳的，因此有足够的证据拒绝H0.因此没有有效的线性回归。 对数价格和对数天数之间的线性关系，因此不能用来可靠地预测样本估计价格。

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GZE币盖思币是什么？GZE币交易所、官网和团队介绍

GZE/盖思币/GazeCoin基本信息

币种名称：GZE/盖思币/GazeCoin

币种概念：匿名货币

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